Herzlichen Dank Susanne für diese Frage 🙏 Mein Lösungsvorschlag wäre: Für die Definitionsmenge: x-2=0 x=2 und: 2x-4=0 2x=4 x=2, beide sind gleich, somit: D= ℝ- {2} Die Lösung der Gleichung: x/(x-2) - (1/2) = 3/(2(x-2)) Wenn man den Nenner auf die 2*(x-2) gleich macht, bekommen wir: 2x/2(x-2) - (x-2)/2(x-2)= 3/2(x-2) (2x-x+2)/2(x-2)= 3/2(x-2) Die Nenner heben sich auf, somit: 2x-x+2=3 x+2=3 x= 1 ist die Antwort, also: L= {1}
Hallo Susanne Wiedermal eine Aufgabe, die ich vor über 50 Jahren nicht hätte lösen können/wollen. Du erklärst immer ganz genau und Schitt für Schritt, so dass keine Frage offen bleibt. Deine Videos sind Perlen im Internet. 4 andere Perlen findest Du , wenn Du nach der Webcam in der Nürnberger Burg googelt. Da findest Du 4 Wanderfalken kurz vor Ihrem ersten Ausflug. Die sind total witzig. Viele Grüße Klaus
Kann man die Lösungsmenge auch anders berechnen : 1.gleichnamig machen mit (x-2) für Subtrahend/Minuend 2.ausmultiplizieren 3.überkreuz-multiplizieren 4.ausmultiplizieren/vereinfachen 5.quadratische Gleichung =0 6.Mitternachsformel anwenden
Wer viel Zeit hat und es kompliziert mag, kann es auch gern so umständlich machen wie hier gezeigt. Der einfache und schnelle Weg: Den ersten Ausdruck links mit 2 erweitern, den zweiten Ausdruck mit (x - 2) erweitern. Führt unmittelbar zu den Zählern 2x und (x - 2) auf der linken Seite. Zähler 3 auf der rechten Seite bleibt. Multiplikation der gesamten Gleichung mit (2x - 4) führt zu 2x - (x - 2) = 3. Ergebnis ist 1. So einfach ist das. 🙂
Hallihallo . ich flippe echt aus mit deinem Kanal - HAMMER - hab dich gestern gefunden und schon soviel angeschaut. Ich bin 44 und in meiner Realschulzeit hatte ich kein Mathe, da ich auf eine Hauswirtschaftsschule war und dort Rechnungswesen hatte. Ich wollte später mal auf der BOS mein Abi nachmachen- ja voll pleite - ohne Mathe und NULL Verständnis von de Sache war ich nur noch aufgeschmissen uaf einmal in der 11. Klasse zu sitzen und nicht mal zu wissen, wie man eine Gleichung löst. Ein bisschen was hab ich schon verstanden und ich finde Mathe sogar spannend - wahnsinn! Gibt es auf deinem Kanal für Menschen wie mich Videos- wo von Anfang an alles erklärt wird, das ich dahin komme um sogar Aufgaben zu lösen die fürs Abitur sind ?- also komplettes Grundwissen wenn man gar nichts weiss? Also wo müsste ich speziell mit meinem Nicht Wissen anfangen um aufzubauen? LG Sandra
Wie immer wurde die Lösung so langsam und ausführlich erklärt, dass es wirklich alle verstehen können. Aber ich wette, auch Susanne löst die Gleichung in einer halben Minute im Kopf, wenn der Erklärmodus aus ist- auf einfachem Wege.
Wenn man genau hinschaut, sieht man (spätestens nach dem Ausklammern auf der rechten Seite), dass der Hauptnenner links gleich dem Nenner rechts ist. Es wäre daher viel einfacher gewesen, zuerst die beiden linken Brüche zu erweitern und zu einem Bruch zusammenzufassen und die Gleichung dann mit 2x - 4 zu multiplizieren.
Ich kam ja nicht schlecht raus mit meinen Algebra - Fähigkeiten. Da ich vor einer herzlichen und hübschen nicht dumm da stehen wollte, wäre wohl ein Genie entstanden. Vielen Dank für diese Übungen, diesen Muskel fit zu halten🥰
Einer meiner alten Mathe-Profs hat mal gesagt: "Durch geschicktes Hinsehen erkennen wir..." und uns versucht auf die angeblich offensichtlichen Wege zur Vereinfachung hingewiesen. Scheint noch was hängen geblieben zu sein von damals. Ich schaue die Videos gerne, um noch mal gegenzuprüfen, ob das auch so ist. Obwohl ich das Ganze derzeit im Alltag überhaupt nicht brauche, aber man weiß ja nie, ob sich das noch mal ändert :)
Auf den ersten Blick habe ich gesehen, dass der Nenner auf der Rechten Seite 2*x-4 das doppelte des linken Nenners auf der linken Seite ist: 2*x-4=2*(x-2). Es bietet sich aalsso an, die Gleichung mimt 2 zu multiplizieren: 2*x/(x-2)-2*1/2=3/(x-2) Nun multiplizieren wir 2*1/2 aaus und erhalten 1, dann bringen wir die beiden Brueche auf derlinken Seite auf einen gemeinsammmen Nenner (was wir allerdings nur duerfen, wenn sichergestellt ist, dass (x-2) ungleich 0 ist, aber da der Bruch auf der rechten Seite sonst nicht definiert waere, koennnen wir daas voraussetzen). 2*x/(x-2) - (x-2)/(x-2)=3/(x-2) Nun lasen sich die Brueche auf der linken Seite einfach addieren, da sie den selben Nenner haben: (2*x-(x-2))/(x-2)=3/(x-2) Zusammenfassen des Zaehlers auf der linken Seite fuehrt zu: (x+2)/(x-2)=3/(x-2) Die Nenner auf beiden Seiten stimmen ueberein, also kann nur Gleichheit vorliegen, wenn auch die Zaehler uebereinstimmen. Mit (x-2) ultiplizieren duefen wir nur dann, wenn wir sicher wisssen, dass (x-2) ungleich 0 ist (ansonsten waeren aber die Brueche auf beiden Seiten nicht definiert). Der Vergleich der Zahler ergibt: x+4=3, woraus sofort folgt: (-2 auf beiden Seiten) x=1. Wir muessen noch pruefen, ob wir nicht vielleicht eine unzulaessige Ummmformung gemmacht haben, als wir 1 zu (x-2)/(x-2) erweitert haben. Das tun wir ddurch einsetzen von x=1 in den Term (x-2): (x-2)=-1 was ungleich 0 ist. Damit war die Umformung zulaessig. OOPS! Ich habe natuerlich uebersehen, dass vorher die Definitionsmenge bestimmt werden sollte ...
Moin, der für mich einfachste Weg war: Alles mit 2(x-2) multiplizieren, damit rechts der Bruchstrich verschwindet. X-2 kürzt sich links im Minuenden. Ganz links bleibt dann 2x stehen. 1/2 kürzt sich mit der 2, also subtrahiere ich (x-2) und muss beim Auflösen der Klammer das Operationszeichen - in + ändern. Es bleibt 2x-x+2=3 oder einfach x+2=3. x=1. Hurra! 🎉
Jo. Kann man so machen. Manchmal hilft es auch, einen Ausdruck wie x/(x-2) zu verschönern, denn das ist anders ausgedrückt 1+ 2(x-2). Hier steckt ein ganzzahliger Anteil im Ausdruck. Immer gut, wenn man das x in der gleichen Potenz hat. Also z.B. auch: (x²-4)/(x²+4) = 1 - 8/(x²+4)
Oder bei dieser Gelegenheit macht man die Terme gleichnamig, was sich hier mit (2x-4) im Nenner besonders gut eignet und somit elegant zur Lösung führt.
Der Hauptnenner ist 2( x-2) also ich würde den Die Brüche gleichnamig mit den Hauptnenner 2x -4 machen und den Zähler auf einem einem Bruchstich= 0 setzen Dann gilt z(x) =0 und N(x) !=0
Lösung: Als erstes vermerkt man, das x-2 nicht Null sein darf, weil sonst geteilt durch Null gerechnet wird. Das Gleiche gilt für 2x-4, was aber zum Glück einfach nur das doppelte von x-2 ist. x - 2 = 0 x = 2 ist nicht erlaubt. Als nächstes sieht man dann sofort, das beide Seiten den gemeinsamen Teiler 2x-4 bzw. 2(x-2) haben, also multipliziert man die ganze Gleichung damit. Dies darf man, weil x=2 ja ausgeschlossen wurde. Das gekürzte Ergebnis ist: 2x - (x - 2) = 3 2x - x + 2 = 3 x + 2 = 3 |-2 x = 1 Probe: 1/(1-2) - 1/2 = 3/(2 - 4) 1/-1 - 1/2 = 3/-2 -1 - 1/2 = -3/2 -2/2 - 1/2 = -3/2 -3/2 = -3/2 Korrekt Definitionsmenge: R\{2} Lösungsmenge: {1}
Nachdem ich mich beim ersten Versuch, bei dem ich tatsächlich nacheinander mit allen Nennern multiplizieren wollte, da ich die Ausklammer-Möglichkeit auf der rechten Seite übersehen hatte, durch einen Schusselfehler auf der linken Seite auf die Reise mit einer Gleichung dritten Grades inkl. der Suche nach einer "Nullstelle durch probieren" (zwecks Polynomdivision) begeben hatte, merkte ich schnell, dass man da mit keinem der ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes eine Nullstelle findet und habe etwas geschummelt, indem ich meine resultierende kubische Gleichung ins GeoGebra eingegeben habe. Nachdem ich dann sah, dass die Nullstellen alles andere als ganzzahlig sind, wusste ich, ich muss irgendwo einen Bock geschossen haben. Dann also in die ersten Sekunden des Videos geschaut, bis der Ansatz mit dem Ausklammern rechts mir den besseren Lösungsweg wie Schuppen von den Augen fallen ließ. Danach kam ich dann aber auf x = 5, weil ich beim mittleren Bruch die "unsichtbaren Klammern" um den Zähler vergessen hatte, die beim Multiplizieren mit "2" dann aber sichtbar werden müssen. Danach hatte ich dann auch schnell die 1 raus.
P.S.: Aus reiner Neugier habe ich nochmal den Versuch eines längeren Weges gemacht, ohne das Ausklammern rechts. Müsste ja letzten Endes eigentlich auch gehen und zum richtigen Ergebnis führen, oder? Ich komme dann auf die quadratische Gleichung x² - 11x + 10 = 0, deren beide Lösungen 1 und 10 wären. 10 ist aber keine gültige Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung. Kann mich jemand erleuchten, warum das nicht geht?
Kurze Frage: wäre es nicht schneller einfach den Kehrwert der gesamten Gleichung zu bilden und mit x zu multiplizieren? Weil dann hab ich nur einen Nennen der mir „Stress macht“
Ich habe auf der linken Seite der Gleichung den gemeinsamen Nenner gebildet [2*(x-2)] und der ergibt aufgelöst ja 2x-4. So sieht die Gleichung dann aus: (2x-x+2)/(2x-4) = 3/(2x-4) Beide Seiten mit 2x-4 multipliziert bleibt 2x-x+2 = 3 übrig und nach x aufgelöst x= 1.
...und wieder... ...Hi Susannele: wieder dankt Dir Daniel für deine einfache Bruchgleichung und wieder konnte ich unter 10 Sekunden bleiben... ...rasend, was? Als Lösungsmenge habe ich, wobei die Definitionsmenge ja die reellen Zahlen außer der 2 umfasst, 5 heraus... ...richtig? ...ich habe es nur überflogen, sodass ich vielleicht eine Petitesse übersehen habe, aber eigentlich fand ich es schlüssig, weil ja der HN offensichtlich ist mit 2( x-2 ), indem der Term 2x-4 so erscheint, wenn man 2 ausklammert... Le p'tit Daniel, mit einem großen Licht für Dich... ...Susanne weißt Du eigentlich die Alogrithmen, um Sinus, Cosinus und Tangens im Kopf auszurechnen ( ...also ich meine die Algorithmen, die andere für schriftliches Rechnen nutzen... )... ...da ich ja immer unglücklich bin, wenn ich meinen Taschenrechner bemühen muss, suchte ich schon verzweifelt, indessen gefunden habe ich diese noch nicht... ...ich wünsche Dir einen wunderschönen Tag, wo auch immer...
@@thalon3707 Danke der Info, wobei ich denke, dass ich in meinem Bemühen schnell zu sein, übersehen habe, dass ein - natürlich die Vorzeichen in der Klammer umkehrt.... ...ist ja ein evergreen unter den Flüchtigkeitsfehlern... ...ich möchte bitte eine 1 als Lösung anmelden, und zumindest geht das auch auf, so man selbige einsetzt... le p'tit Daniel mit einer Frage: mich nennt man Proletenkind, nennt dich jemand Sprößling oder woher das onomastische Pseudonym?
@@reinhardtristaneugen9113 Thalon ist ein Dämon aus dem RPG DSA und ich habe vor über 20 Jahren einen Nick gebraucht und das Buch Myteria Arkana lag gerade vor mir 😄
@@thalon3707 ...man lernt doch nie aus, ich dachte, weil thalos Altgr. für Sprößling ist und thalon folglich den Genitiv Plural darstellt, ansonsten bin ich aber treuer Diener Jesu, sehe mich eher gleich Abdiel ( ...er findet sich in Miltons Verlorenem Paradies... ) und mein Pseudonym ist nun wirklich der pure Sarkasmus, indem er das absolute Gegenteil meiner darstellt, indem ich strahlender Tscheche bin... Le p'tit Daniel
@@WakanTankaDakota Im Gegensatz zum Nenner darf der Zähler 0 sein, denn die 0 durch irgendeine Zahl zu teilen ist erlaubt, auch wenn es wenig Sinn ergibt, da das Ergebnis immer 0 ist. Es ist nur nicht erlaubt, irgendeine Zahl durch 0 zu teilen. Deswegen muss man nur aufpassen, dass die Nenner nicht 0 sind. Bei den Zählern ist es egal.
@@maushgw sorry, ich hatte mich verschrieben. Ich meinte natürlich den Nenner. Da steht ja auch das x! Und bei x = -2 würde dann im Nenner 0 rauskommen und das müsste in der D-Menge ausgeschlossen werden…
Geht auf diesem Weg nicht eine mögliche Lösung "verloren"? x/(x-2)-1/2 = 3/(2x-4) --> die linke Seite auf einen Nenner bringen (2x-(x-2))/(2x-4) = 3/(2x-4) --> zusammenfassen (x+2)/(2x-4) = 3/(2x-4) --> die linke Seite mit dem Nenner der rechten Seite multiplizieren ((x+2)*(2x-4))/(2x-4) = 3 --> die rechte Seite mit dem Nenner der linken Seite multiplizieren (x+2)*(2x-4) = 3*(2x-4) --> ausmultiplizieren und zusammenfassen 2x^2 -8 = 6x-12 --> -(6x-12) 2x^2 -6x +4 = 0 --> durch 2 teilen x^2 -3x +2 = 0 --> quadr. Gleichung x(1)=1 und x(2)=2 Die 2 scheidet aus, da sie nicht Teil der Definitionsmenge ist, so daß das Ergebnis das Gleiche ist. Aber könnte nicht in einem anderen Zahlenbeispiel bei vorzeitigem Kürzen mögliche Lösungen "verloren gehen"?
Nein, diese Gefahr besteht nicht. Das Kürzen in einer Gleichung ist die Umkehrung des Erweitern einer Gleichung, welches mit beliebigen Faktoren/Summanden/... durchgeführt werden kann. Diese "verlorene Lösung", von der du sprichst, existiert jedoch nur, wenn man trivial, also mit dem Faktor 0 erweitert. Das mag soweit noch funktionieren, sobald du dann aber deinen Lösungsweg weiter zurückrechnest, wirst du irgendwann merken, dass du nicht weiterkommst, ohne die 2 aus der Definition auszuschließen. Das heißt im Umkehrschluss, dass diese "verlorene Lösung" immer die in der Definition ausgeschlossene Zahl ist. Kannst du zum Beispiel mal ausprobieren, wenn du stattdessen die Gleichung x/(x-4)-1/2=3/(2x-8) auf deinem Weg löst.
So habe ich das auch gerechnet. Ich habe keinen Beweis parat, aber mein Gefühl sagt mir, dass da nichts verloren geht. Ich würde annehmen, dass man eine Gleichung mit zwei erlaubten Lösungen nie so kürzen kann, dass das x^2 wegfällt.
Du hast 4 Kekse und teilst sie durch 2. Dann hast du 2 Kekse. Wenn du 4 Kekse hast und durch 1 teilst, dann teilst du gar nicht, behältst die 4 Kekse. Was ist, wenn du 4 Kekse durch 0 teilst? Es gibt keine Logik, die darauf antworten kann. Mathematisch kannst du dir so erklären. Jede Multiplikation kann durch Division auf den ursprünglichen Wert kommen. 4 x 6 = 24 => 24 / 6 = 4. 9 x 7 = 63 => 63 / 7 = 9 Wie sieht es mit der Null aus? 9 x 0 = 0 => Also müsste 0/0 ja auch 9 ergeben, oder nicht? Genau da ist der Fehler. Sowohl im Sprachgebrauch als mathematisch kannst du das “Durch null” teilen nicht definieren.
Kannst ja mal versuchen dich 0 als Teiler anzunähern. 1/1 1/0,1 1/0,001 ... -> läuft gegen unendlich dann mit negativen Zahlen, also 1/-1 1/-0,01 1/-0,001 ... -> läuft gegen negativ unendlich deswegen ist 0 als Teiler undefiniert.
@@quentinlynch Hallo quentinlynch. Ist die Äquivalenz, bzw. Äquivalenzumformung ein Begriff, falls ja, kannst Du ableiten, dass dein Folgepfeil nicht zulässig ist, da dies eben keine Äquivalenzumformung ist. Falls nein: Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die den Wahrheitsgehalt / die Gleichung nicht verändert, die ich jederzeit rückgängig machen kann (für die es einen Gegenoperator gibt) um das urspr. Ergebnis zu erhalten. Beispiel: x+3 =7 | -3 x=4 oder auch x=4 Du kennst den "Doppel-Pfeil' vielleicht noch aus der Schule... Du kannst die Operation "-3" auch wieder rückgängig machen x=4 | +3 x+3=7 oder auch x+3 = 7 ...Und du hast wieder die gleiche Aussage wie zu Beginn. Dein Beispiel ... * 0 =0 ist keine Äquivalenzumformung, weil es eben den Gegenoperator :0 nit gibt, weil dieser nicht definiert ist. Wenn es nun den Gegenoperator nicht gibt, habe ich auch keine Möglichkeit, die Operation *0 rückgängig zu machen. Den "Gegenoperator von einer Zahl x nennt mann Inverse(s) von x. Da 0 kein Inverses hat, gibt es keinen Gegenoperator zur 0, demnach ist weder *0 noch : 0 eine Äquivalenzumformung und zusätzlich :0 nicht definiert und deshalb Division durch 0 nicht zuläsig. Dein Argument "man könnte doch auch argimentieren, dass alles gleich bleibt..." gibt es tatsächlich! Man nennt dies das "neutrale Element" Für die Addition ist dies tatsächlich die von Dir vorgeschlagene 0 weil irgendwas +0 ändert den Wert nicht... die 0 verhält sich also neutral (daher auch der Name "Neutrales Element) Für die Multiplikation ist das neutrale Element die 1, da irgendetwas *1 auch den Wert nicht ändert. Bei den grundlegenden Rechenregeln ist u.a. auch eine Festlegung dass es für die Multiplikation und die Addition nur ein neutrales Element geben darf und beide neutralen Elemente verschieden sein müssen (01) Damit Du durch 0 dividieren kannst, müsstest Du also diverse Rechenregeln brechen. Schaue Dir gerne auch folgendes an: Hier hat DorFuchs schön erklärt, warum man nicht durch 0 teilen kann: ruclips.net/video/_b51R7eSgxw/видео.html&pp=ygUcZG9yZnVjaHMgZGl2aXNpb24gZHVyY2ggbnVsbA%3D%3D Ich hoffe, Du kannst mit meiner Erklärung was anfangen. Lass gerne ein Feedback da. LG aus dem Schwabenland.
Ob sie nun auf Anliegen eingeht oder nicht, trotzdem hat sie über die letzte Zeit eine große Reichweite aufgebaut. Also macht sie wohl nicht zu viel falsch was Content angeht
*Mein komplettes Equipment*
➤ mathematrick.de/mein-equipment
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Was für eine Bereicherung Du für uns bist. Vielen vielen Dank.
Herzlichen Dank Susanne für diese Frage 🙏
Mein Lösungsvorschlag wäre:
Für die Definitionsmenge:
x-2=0
x=2 und:
2x-4=0
2x=4
x=2, beide sind gleich, somit: D= ℝ- {2}
Die Lösung der Gleichung:
x/(x-2) - (1/2) = 3/(2(x-2))
Wenn man den Nenner auf die 2*(x-2) gleich macht, bekommen wir:
2x/2(x-2) - (x-2)/2(x-2)= 3/2(x-2)
(2x-x+2)/2(x-2)= 3/2(x-2)
Die Nenner heben sich auf, somit:
2x-x+2=3
x+2=3
x= 1 ist die Antwort, also: L= {1}
Hallo Susanne
Wiedermal eine Aufgabe, die ich vor über 50 Jahren nicht hätte lösen können/wollen.
Du erklärst immer ganz genau und Schitt für Schritt, so dass keine Frage offen bleibt. Deine Videos sind Perlen im Internet.
4 andere Perlen findest Du , wenn Du nach der Webcam in der Nürnberger Burg googelt. Da findest Du 4 Wanderfalken kurz vor Ihrem ersten Ausflug. Die sind total witzig.
Viele Grüße
Klaus
Kann man die Lösungsmenge auch anders berechnen :
1.gleichnamig machen mit (x-2) für Subtrahend/Minuend
2.ausmultiplizieren
3.überkreuz-multiplizieren
4.ausmultiplizieren/vereinfachen
5.quadratische Gleichung =0
6.Mitternachsformel anwenden
Wie üblich hast Du die Aufgabe und den Lösungsweg hervorragend erklärt. Danke 😃
Danke du hast meine mittlere reife gerettet ❤❤
Wer viel Zeit hat und es kompliziert mag, kann es auch gern so umständlich machen wie hier gezeigt.
Der einfache und schnelle Weg:
Den ersten Ausdruck links mit 2 erweitern, den zweiten Ausdruck mit (x - 2) erweitern. Führt unmittelbar zu den Zählern 2x und (x - 2) auf der linken Seite. Zähler 3 auf der rechten Seite bleibt.
Multiplikation der gesamten Gleichung mit (2x - 4) führt zu 2x - (x - 2) = 3.
Ergebnis ist 1.
So einfach ist das. 🙂
Hallihallo . ich flippe echt aus mit deinem Kanal - HAMMER - hab dich gestern gefunden und schon soviel angeschaut. Ich bin 44 und in meiner Realschulzeit hatte ich kein Mathe, da ich auf eine Hauswirtschaftsschule war und dort Rechnungswesen hatte. Ich wollte später mal auf der BOS mein Abi nachmachen- ja voll pleite - ohne Mathe und NULL Verständnis von de Sache war ich nur noch aufgeschmissen uaf einmal in der 11. Klasse zu sitzen und nicht mal zu wissen, wie man eine Gleichung löst.
Ein bisschen was hab ich schon verstanden und ich finde Mathe sogar spannend - wahnsinn! Gibt es auf deinem Kanal für Menschen wie mich Videos- wo von Anfang an alles erklärt wird, das ich dahin komme um sogar Aufgaben zu lösen die fürs Abitur sind ?- also komplettes Grundwissen wenn man gar nichts weiss? Also wo müsste ich speziell mit meinem Nicht Wissen anfangen um aufzubauen? LG Sandra
Wie immer wurde die Lösung so langsam und ausführlich erklärt, dass es wirklich alle verstehen können. Aber ich wette, auch Susanne löst die Gleichung in einer halben Minute im Kopf, wenn der Erklärmodus aus ist- auf einfachem Wege.
Wieder ein super Übungsstück.
War in 5 min fertig.
Die Zahl war aber falsch.
😂😂😂
Wenn man genau hinschaut, sieht man (spätestens nach dem Ausklammern auf der rechten Seite), dass der Hauptnenner links gleich dem Nenner rechts ist. Es wäre daher viel einfacher gewesen, zuerst die beiden linken Brüche zu erweitern und zu einem Bruch zusammenzufassen und die Gleichung dann mit 2x - 4 zu multiplizieren.
Ich kam ja nicht schlecht raus mit meinen Algebra - Fähigkeiten. Da ich vor einer herzlichen und hübschen nicht dumm da stehen wollte, wäre wohl ein Genie entstanden.
Vielen Dank für diese Übungen, diesen Muskel fit zu halten🥰
8 Monate Training und ich konnte das wieder locker im Kopf ausrechnen. Danke dass du mich wieder fit machst❤
Einer meiner alten Mathe-Profs hat mal gesagt: "Durch geschicktes Hinsehen erkennen wir..." und uns versucht auf die angeblich offensichtlichen Wege zur Vereinfachung hingewiesen. Scheint noch was hängen geblieben zu sein von damals. Ich schaue die Videos gerne, um noch mal gegenzuprüfen, ob das auch so ist. Obwohl ich das Ganze derzeit im Alltag überhaupt nicht brauche, aber man weiß ja nie, ob sich das noch mal ändert :)
Auf den ersten Blick habe ich gesehen, dass der Nenner auf der Rechten Seite 2*x-4 das doppelte des linken Nenners auf der linken Seite ist: 2*x-4=2*(x-2).
Es bietet sich aalsso an, die Gleichung mimt 2 zu multiplizieren:
2*x/(x-2)-2*1/2=3/(x-2)
Nun multiplizieren wir 2*1/2 aaus und erhalten 1, dann bringen wir die beiden Brueche auf derlinken Seite auf einen gemeinsammmen Nenner (was wir allerdings nur duerfen, wenn sichergestellt ist, dass (x-2) ungleich 0 ist, aber da der Bruch auf der rechten Seite sonst nicht definiert waere, koennnen wir daas voraussetzen).
2*x/(x-2) - (x-2)/(x-2)=3/(x-2)
Nun lasen sich die Brueche auf der linken Seite einfach addieren, da sie den selben Nenner haben:
(2*x-(x-2))/(x-2)=3/(x-2)
Zusammenfassen des Zaehlers auf der linken Seite fuehrt zu:
(x+2)/(x-2)=3/(x-2)
Die Nenner auf beiden Seiten stimmen ueberein, also kann nur Gleichheit vorliegen, wenn auch die Zaehler uebereinstimmen. Mit (x-2) ultiplizieren duefen wir nur dann, wenn wir sicher wisssen, dass (x-2) ungleich 0 ist (ansonsten waeren aber die Brueche auf beiden Seiten nicht definiert). Der Vergleich der Zahler ergibt: x+4=3, woraus sofort folgt: (-2 auf beiden Seiten) x=1. Wir muessen noch pruefen, ob wir nicht vielleicht eine unzulaessige Ummmformung gemmacht haben, als wir
1 zu (x-2)/(x-2) erweitert haben. Das tun wir ddurch einsetzen von x=1 in den Term (x-2): (x-2)=-1 was ungleich 0 ist. Damit war die Umformung zulaessig.
OOPS! Ich habe natuerlich uebersehen, dass vorher die Definitionsmenge bestimmt werden sollte ...
Lang ist's her.... hat trotzdem Spaß gemacht.
Ich wünschte deinen kanal hätte es zu meiner schulzeit schon gegeben 😊
Ich danke dir sehr, hättest du auch vielleicht ein Video zu einheitsvektoren?
Moin, der für mich einfachste Weg war:
Alles mit 2(x-2) multiplizieren, damit rechts der Bruchstrich verschwindet.
X-2 kürzt sich links im Minuenden. Ganz links bleibt dann 2x stehen. 1/2 kürzt sich mit der 2, also subtrahiere ich (x-2) und muss beim Auflösen der Klammer das Operationszeichen - in + ändern. Es bleibt 2x-x+2=3 oder einfach x+2=3. x=1. Hurra! 🎉
Jo. Kann man so machen. Manchmal hilft es auch, einen Ausdruck wie x/(x-2) zu verschönern, denn das ist anders ausgedrückt 1+ 2(x-2). Hier steckt ein ganzzahliger Anteil im Ausdruck. Immer gut, wenn man das x in der gleichen Potenz hat.
Also z.B. auch:
(x²-4)/(x²+4) = 1 - 8/(x²+4)
Danke 😘
Oder bei dieser Gelegenheit macht man die Terme gleichnamig, was sich hier mit (2x-4) im Nenner besonders gut eignet und somit elegant zur Lösung führt.
Der Hauptnenner ist 2( x-2) also ich würde den Die Brüche gleichnamig mit den Hauptnenner 2x -4 machen und den Zähler auf einem einem Bruchstich= 0 setzen
Dann gilt z(x) =0 und N(x) !=0
Lösung:
Als erstes vermerkt man, das x-2 nicht Null sein darf, weil sonst geteilt durch Null gerechnet wird. Das Gleiche gilt für 2x-4, was aber zum Glück einfach nur das doppelte von x-2 ist.
x - 2 = 0
x = 2 ist nicht erlaubt.
Als nächstes sieht man dann sofort, das beide Seiten den gemeinsamen Teiler 2x-4 bzw. 2(x-2) haben, also multipliziert man die ganze Gleichung damit. Dies darf man, weil x=2 ja ausgeschlossen wurde.
Das gekürzte Ergebnis ist:
2x - (x - 2) = 3
2x - x + 2 = 3
x + 2 = 3 |-2
x = 1
Probe:
1/(1-2) - 1/2 = 3/(2 - 4)
1/-1 - 1/2 = 3/-2
-1 - 1/2 = -3/2
-2/2 - 1/2 = -3/2
-3/2 = -3/2
Korrekt
Definitionsmenge: R\{2}
Lösungsmenge: {1}
Wie wir von Susanne gewohnt sind, wider eine didaktische Perle.
Ich hoffe, Du meintest „wieder“. Denn Susanne arbeitet sehr selten gegen etwas oder jemanden 😉
Nachdem ich mich beim ersten Versuch, bei dem ich tatsächlich nacheinander mit allen Nennern multiplizieren wollte, da ich die Ausklammer-Möglichkeit auf der rechten Seite übersehen hatte, durch einen Schusselfehler auf der linken Seite auf die Reise mit einer Gleichung dritten Grades inkl. der Suche nach einer "Nullstelle durch probieren" (zwecks Polynomdivision) begeben hatte, merkte ich schnell, dass man da mit keinem der ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes eine Nullstelle findet und habe etwas geschummelt, indem ich meine resultierende kubische Gleichung ins GeoGebra eingegeben habe. Nachdem ich dann sah, dass die Nullstellen alles andere als ganzzahlig sind, wusste ich, ich muss irgendwo einen Bock geschossen haben.
Dann also in die ersten Sekunden des Videos geschaut, bis der Ansatz mit dem Ausklammern rechts mir den besseren Lösungsweg wie Schuppen von den Augen fallen ließ.
Danach kam ich dann aber auf x = 5, weil ich beim mittleren Bruch die "unsichtbaren Klammern" um den Zähler vergessen hatte, die beim Multiplizieren mit "2" dann aber sichtbar werden müssen.
Danach hatte ich dann auch schnell die 1 raus.
P.S.: Aus reiner Neugier habe ich nochmal den Versuch eines längeren Weges gemacht, ohne das Ausklammern rechts. Müsste ja letzten Endes eigentlich auch gehen und zum richtigen Ergebnis führen, oder? Ich komme dann auf die quadratische Gleichung x² - 11x + 10 = 0, deren beide Lösungen 1 und 10 wären. 10 ist aber keine gültige Lösung der ursprünglichen Bruchgleichung. Kann mich jemand erleuchten, warum das nicht geht?
Kann man die Folien herunterladen irgendwo?
Kurze Frage: wäre es nicht schneller einfach den Kehrwert der gesamten Gleichung zu bilden und mit x zu multiplizieren? Weil dann hab ich nur einen Nennen der mir „Stress macht“
Mathe ist gut, aber bei MoonSun krieg ich immer wieder Gänsehaut.
Hab 10 und 1 raus mit langen Weg und Binomischer Formel, ist das Möglich?
Ich habe auf der linken Seite der Gleichung den gemeinsamen Nenner gebildet [2*(x-2)] und der ergibt aufgelöst ja 2x-4.
So sieht die Gleichung dann aus: (2x-x+2)/(2x-4) = 3/(2x-4)
Beide Seiten mit 2x-4 multipliziert bleibt 2x-x+2 = 3 übrig und nach x aufgelöst x= 1.
😀
❤❤
Schneller: Rechts im Nenner 2 ausklammern und dann mit diesem Hauptnenner 2(x - 2) die Gleichung multiplizieren => 2x - (x - 2) = 3 ...
gemeinsamer Nenner: 2x-4
x≠2
2x - (x-2) =3
2x - x + 2 = 3
x=1
L={1}
Bin immer wieder erstaunt wie aus einem großen Chaos so eine kleine gleichung wird
Schönes einfaches Beispiel an dem vermutlich viele Erwachsene trotzdem scheitern.
Schöne Grüße aus Österreich!
Bin leider seit Jahrzehnten erwachsen, hab's dennoch geschafft.😀 Schöne Grüße aus Österreich, auch nach Österreich!
@@hmderka hihi, ich kenne Leute, die scheitern an 8 + 8×8 + 8/8 - 8 = ?
...und wieder... ...Hi Susannele:
wieder dankt Dir Daniel für deine einfache Bruchgleichung und wieder konnte ich unter 10 Sekunden bleiben... ...rasend, was?
Als Lösungsmenge habe ich, wobei die Definitionsmenge ja die reellen Zahlen außer der 2 umfasst, 5 heraus... ...richtig? ...ich habe es nur überflogen, sodass ich vielleicht eine Petitesse übersehen habe, aber eigentlich fand ich es schlüssig, weil ja der HN offensichtlich ist mit 2( x-2 ), indem der Term 2x-4 so erscheint, wenn man 2 ausklammert...
Le p'tit Daniel, mit einem großen Licht für Dich... ...Susanne weißt Du eigentlich die Alogrithmen, um Sinus, Cosinus und Tangens im Kopf auszurechnen ( ...also ich meine die Algorithmen, die andere für schriftliches Rechnen nutzen... )... ...da ich ja immer unglücklich bin, wenn ich meinen Taschenrechner bemühen muss, suchte ich schon verzweifelt, indessen gefunden habe ich diese noch nicht... ...ich wünsche Dir einen wunderschönen Tag, wo auch immer...
5 ist falsch. Am besten immer eine Kontrollrechnung machen
@@thalon3707 Danke der Info, wobei ich denke, dass ich in meinem Bemühen schnell zu sein, übersehen habe, dass ein - natürlich die Vorzeichen in der Klammer umkehrt.... ...ist ja ein evergreen unter den Flüchtigkeitsfehlern... ...ich möchte bitte eine 1 als Lösung anmelden, und zumindest geht das auch auf, so man selbige einsetzt...
le p'tit Daniel mit einer Frage: mich nennt man Proletenkind, nennt dich jemand Sprößling oder woher das onomastische Pseudonym?
@@reinhardtristaneugen9113 Thalon ist ein Dämon aus dem RPG DSA und ich habe vor über 20 Jahren einen Nick gebraucht und das Buch Myteria Arkana lag gerade vor mir 😄
@@thalon3707 ...man lernt doch nie aus, ich dachte, weil thalos Altgr. für Sprößling ist und thalon folglich den Genitiv Plural darstellt, ansonsten bin ich aber treuer Diener Jesu, sehe mich eher gleich Abdiel ( ...er findet sich in Miltons Verlorenem Paradies... ) und mein Pseudonym ist nun wirklich der pure Sarkasmus, indem er das absolute Gegenteil meiner darstellt, indem ich strahlender Tscheche bin...
Le p'tit Daniel
X = 1 😊❤😊 ODER IST ES FALSCH WIE IMMER 🎉🎉
Du bist süß ❤
Wofür brauch man das
Und was ist mit -2? In der Definitionsmenge
-2 ist nicht auszuschließen, da sich dann links -4 und rechts -8 im Nenner bilden würden, was nicht null ist und somit nicht unzulässig.
@@MagicChris86 rechts vom = steht beim Zähler dann 0, weil 2 x -2 = 4 und 4 - 4 = 0. Oder mach ich da einen Denkfehler?
@@WakanTankaDakota Im Gegensatz zum Nenner darf der Zähler 0 sein, denn die 0 durch irgendeine Zahl zu teilen ist erlaubt, auch wenn es wenig Sinn ergibt, da das Ergebnis immer 0 ist. Es ist nur nicht erlaubt, irgendeine Zahl durch 0 zu teilen. Deswegen muss man nur aufpassen, dass die Nenner nicht 0 sind. Bei den Zählern ist es egal.
@@maushgw sorry, ich hatte mich verschrieben. Ich meinte natürlich den Nenner. Da steht ja auch das x! Und bei x = -2 würde dann im Nenner 0 rauskommen und das müsste in der D-Menge ausgeschlossen werden…
@@WakanTankaDakota "weil 2 x -2 = 4"
HN = 2 × ( X -- 2 ) DIE GLEICHUNG AUFGELÖST ERGIBT 2 × X -- ( X -- 2 ) = 3 DANN IST X = 1 ❤😊
toll, anderes video meinte man soll mit den nennern rechen😭
Geht auf diesem Weg nicht eine mögliche Lösung "verloren"?
x/(x-2)-1/2 = 3/(2x-4) --> die linke Seite auf einen Nenner bringen
(2x-(x-2))/(2x-4) = 3/(2x-4) --> zusammenfassen
(x+2)/(2x-4) = 3/(2x-4) --> die linke Seite mit dem Nenner der rechten Seite multiplizieren
((x+2)*(2x-4))/(2x-4) = 3 --> die rechte Seite mit dem Nenner der linken Seite multiplizieren
(x+2)*(2x-4) = 3*(2x-4) --> ausmultiplizieren und zusammenfassen
2x^2 -8 = 6x-12 --> -(6x-12)
2x^2 -6x +4 = 0 --> durch 2 teilen
x^2 -3x +2 = 0 --> quadr. Gleichung
x(1)=1 und x(2)=2
Die 2 scheidet aus, da sie nicht Teil der Definitionsmenge ist, so daß das Ergebnis das Gleiche ist. Aber könnte nicht in einem anderen Zahlenbeispiel bei vorzeitigem Kürzen mögliche Lösungen "verloren gehen"?
Nein, diese Gefahr besteht nicht. Das Kürzen in einer Gleichung ist die Umkehrung des Erweitern einer Gleichung, welches mit beliebigen Faktoren/Summanden/... durchgeführt werden kann. Diese "verlorene Lösung", von der du sprichst, existiert jedoch nur, wenn man trivial, also mit dem Faktor 0 erweitert. Das mag soweit noch funktionieren, sobald du dann aber deinen Lösungsweg weiter zurückrechnest, wirst du irgendwann merken, dass du nicht weiterkommst, ohne die 2 aus der Definition auszuschließen. Das heißt im Umkehrschluss, dass diese "verlorene Lösung" immer die in der Definition ausgeschlossene Zahl ist. Kannst du zum Beispiel mal ausprobieren, wenn du stattdessen die Gleichung x/(x-4)-1/2=3/(2x-8) auf deinem Weg löst.
So habe ich das auch gerechnet. Ich habe keinen Beweis parat, aber mein Gefühl sagt mir, dass da nichts verloren geht. Ich würde annehmen, dass man eine Gleichung mit zwei erlaubten Lösungen nie so kürzen kann, dass das x^2 wegfällt.
Warum darf man eigentlich nicht durch 0 teilen?
Du hast 4 Kekse und teilst sie durch 2. Dann hast du 2 Kekse.
Wenn du 4 Kekse hast und durch 1 teilst, dann teilst du gar nicht, behältst die 4 Kekse.
Was ist, wenn du 4 Kekse durch 0 teilst? Es gibt keine Logik, die darauf antworten kann.
Mathematisch kannst du dir so erklären.
Jede Multiplikation kann durch Division auf den ursprünglichen Wert kommen.
4 x 6 = 24
=> 24 / 6 = 4.
9 x 7 = 63
=> 63 / 7 = 9
Wie sieht es mit der Null aus?
9 x 0 = 0
=> Also müsste 0/0 ja auch 9 ergeben, oder nicht?
Genau da ist der Fehler. Sowohl im Sprachgebrauch als mathematisch kannst du das “Durch null” teilen nicht definieren.
@@melihpremium Man könnte doch aber auch argumentieren, dass beim Teilen durch 0 "alles" bleibt.
9 × 0 = 0
=> 0 / 0 = 9 (aber eben auch alles andere).
Kannst ja mal versuchen dich 0 als Teiler anzunähern. 1/1 1/0,1 1/0,001 ... -> läuft gegen unendlich
dann mit negativen Zahlen, also 1/-1 1/-0,01 1/-0,001 ... -> läuft gegen negativ unendlich
deswegen ist 0 als Teiler undefiniert.
@@quentinlynch Nein, man kann so nicht argumentieren. Wenn Du selbst sagst: "aber eben auch alles andere", dann ist 9 keine eindeutige Lösung für 0/0.
@@quentinlynch Hallo quentinlynch. Ist die Äquivalenz, bzw. Äquivalenzumformung ein Begriff, falls ja, kannst Du ableiten, dass dein Folgepfeil nicht zulässig ist, da dies eben keine Äquivalenzumformung ist.
Falls nein:
Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die den Wahrheitsgehalt / die Gleichung nicht verändert, die ich jederzeit rückgängig machen kann (für die es einen Gegenoperator gibt) um das urspr. Ergebnis zu erhalten.
Beispiel:
x+3 =7 | -3
x=4 oder auch
x=4
Du kennst den "Doppel-Pfeil' vielleicht noch aus der Schule...
Du kannst die Operation "-3" auch wieder rückgängig machen
x=4 | +3
x+3=7 oder auch
x+3 = 7
...Und du hast wieder die gleiche Aussage wie zu Beginn.
Dein Beispiel
... * 0 =0 ist keine Äquivalenzumformung, weil es eben den Gegenoperator :0 nit gibt, weil dieser nicht definiert ist.
Wenn es nun den Gegenoperator nicht gibt, habe ich auch keine Möglichkeit, die Operation *0 rückgängig zu machen.
Den "Gegenoperator von einer Zahl x nennt mann Inverse(s) von x. Da 0 kein Inverses hat, gibt es keinen Gegenoperator zur 0, demnach ist weder *0 noch : 0 eine Äquivalenzumformung und zusätzlich :0 nicht definiert und deshalb Division durch 0 nicht zuläsig.
Dein Argument "man könnte doch auch argimentieren, dass alles gleich bleibt..." gibt es tatsächlich!
Man nennt dies das "neutrale Element"
Für die Addition ist dies tatsächlich die von Dir vorgeschlagene 0 weil irgendwas +0 ändert den Wert nicht... die 0 verhält sich also neutral (daher auch der Name "Neutrales Element)
Für die Multiplikation ist das neutrale Element die 1, da irgendetwas *1 auch den Wert nicht ändert.
Bei den grundlegenden Rechenregeln ist u.a. auch eine Festlegung dass es für die Multiplikation und die Addition nur ein neutrales Element geben darf und beide neutralen Elemente verschieden sein müssen (01)
Damit Du durch 0 dividieren kannst, müsstest Du also diverse Rechenregeln brechen.
Schaue Dir gerne auch folgendes an:
Hier hat DorFuchs schön erklärt, warum man nicht durch 0 teilen kann:
ruclips.net/video/_b51R7eSgxw/видео.html&pp=ygUcZG9yZnVjaHMgZGl2aXNpb24gZHVyY2ggbnVsbA%3D%3D
Ich hoffe, Du kannst mit meiner Erklärung was anfangen.
Lass gerne ein Feedback da.
LG aus dem Schwabenland.
💚💛🧡💫💫💥💥💥💫💫🧡💛💚
Ähhh... mist... Probe vergessen... passiert auch mir immer. XD
Schade das du nie auf Anliegen deiner Abonnenten reagierst, und statt dessen deinen sturren eigenen Weg gehst.
Ob sie nun auf Anliegen eingeht oder nicht, trotzdem hat sie über die letzte Zeit eine große Reichweite aufgebaut. Also macht sie wohl nicht zu viel falsch was Content angeht